Geçen haftanın İmperial College London’dan Amihay Hanany ve Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü’nden Edvard Musaev misafirlerimizdi.

Çarşamba gününe Sabancı Öğretmenevi’nde Amihay Hanany ve öğrencilerimle birlikte kahvaltıyla başladık. Öğrenciler siyasetten Türkiye şehirlerinin tarihi yerlerine kadar pek çok konuda Hanany ile konuştular. Bazıları İsrail’de eğitim siteminden konuşulunca oradaki üniversitelerde yüksek lisans yapmak hakkında düşünmeye başladı.

DESY’de yüksek lisans öğrencisiyken, süpersimetrik ayar teorilerinin kesin sonuçlarıyla ilgilenmeye başlamıştım. O zamanlar Hanany’nin “plethystics” programı ile ilgili makalelerini çok kullanıyordum:

• Counting BPS Operators in Gauge Theories: Quivers, Syzygies and Plethystics
• Counting Gauge Invariants: the Plethystic Program
• The Master Space of Supersymmetric Gauge Theories

Boğaziçi’ndeki öğrencilerimiz daha şanslı, bu konuları lisansda ve daha önemlisi Hanany’nin kendisinden öğrenme fırsatları oldu. Hanany çok basit örnekten başladı. Monom kümesi {a, b, c} verildiğinde değişim altında simetrik olan, ikinci derecede kaç tane monom bulabileceğimizi sorduğumuzda cevap altı elemanlı küme olacak: {a^2 , b^2 , c^2 , ab, ac, bc}. Üçüncü dereceden simetrik monomlar için soruyu tekrarlarsak, bu sefer 10 elemanlı küme buluruz: {a^3 , b^3 , c^3 , a^2 b, ab^2 , a^ 2 c, ac^2 , b^2 c, bc^2 , abc}.  Basitce desek, plethystic eksponensiyel, bu sayma işini fonksiyona dahil etmenin bir yoludur.

Hanany daha çok Witten’le birlikte çalışdığı ve sonradan Hanany-Witten yapısı adlandırılan makalesi ile bilinmekte. Süpersimetrik ayar teorileri sicim teorisi bağlamında elde edilebilir. Anomalisi olmayan herhangi bir süpersimetrik sicim teorisinde D-brane konfigürasyonlarına bakalım. D-brane’ler, hiperyüzeyler olarak düşünülebilen klasik nesnelerdir. N paralel D-brane’lerin konfigürasyonu doğal olarak SU(N) ayar grubuna yol açmaktadır. Ayar teorisinin D-brane dünya hacmine lokalize oluyor. D-brane hiperyüzeyi tam on boyutlu Lorentz değişmezliğini kırar, bu nedenle yalnızca dünya hacmi “boyunca” yönlere karşılık gelen bileşenler gerçek bir vektör oluşturur ki, böylece on-boyutlu sicim teorisinden çok daha az sayıda boyutta bir teori elde edilir. 90’larda Hanany ve Witten üç boyutlu 8 süperyükü olan ayar teorilerini kesişen zarlardan (brane) oluşan bir yapı ile elde ettiler. Süpersimetrik ayar teorileri bu durumda D-zarlarının dünya hacminde (worldvolume) yaşıyor, makalenin orijinalini okumak isteyenler için

• Type IIB Superstrings, BPS Monopoles, And Three-Dimensional Gauge Dynamics

Amihay ile 2016 yılında Bern’de bir konferansta tanıştım. Üst en solda ben, alt en sağda Hanany.

Bu hafta iki öğrencimi yurtdışına uğurladık, Batu ve Kübra Minnesota Üniversitesi’nde doktoraya başladılar. Kübra ile (Osman’la birlikte) bir kaç ay önce bir makale yazdık. Kısaca anlatmalı olursam, 90’larda süpersimetrik ayar teorileri için kızılötesi ikilikler bulundu. Bu, kızılötesi sabit bir noktadaki iki (veya daha fazla) farklı teorinin  aynı fiziği olduğu anlamına gelir. Kompakt manifold üzerindeki süpersimetrik teoriler için bölüşüm fonksiyonu tam olarak hesaplanabilir. Böyle hesaplar süpersimetrik lokalizasyonla yapılmaktadır. İkili teorilerin bölüşüm fonksiyonları eşit olmalıdır, genelde kızılötesi ikilikler trivial olmayan integral eşitliklerini vermektedir. Biz bölüşüm fonksiyonları seviyesinde, üç boyutlu süpersimetrik ikili teorilerde çeşnileri integralleyerek daha iyi bilinen başka üç boyutlu ikili süpersimetrik teorileri (ayna simetrisi adı verilen) elde ettik. İncelediğimiz ikili teoriler için bölüşüm fonksiyonlarının eşitliği pentagon eşitliği şeklindedır. Böyle denklikler topolojik olarak 2-3 Pachner hareketine karşılık gelir. İlgilenirseniz detaylar burada bulunabilir:

• Notes on the lens integral pentagon identity